考虑空气阻力情况下的竖直上抛运动

背景知识#

竖直上抛运动：指物体以某一初速度竖直向上抛出（不考虑空气阻力），只在重力作用下所做的运动。

若研究在竖直上抛运动中，一小球所能达到的最高位置的距离 $ H $ 时，则有一般思路：

若初速度为 v_0，重力加速度为 g，则有 H = \frac{v_0^2}{2g}

那么，如果将这个问题改变一下，若考虑空气阻力对竖直上抛运动的影响，那么结果会是如何呢？

已知空气阻力的关系式 $ f = \frac {1}{2} c \rho S v^2 $，其中 $ C $ 为空气阻力系数，$ \rho $ 为空气密度，$ S $ 物体迎风面积，$ v $ 为物体与空气的相对运动速度，小球的质量为 $ m $，重力加速度为 $ g $。

设 $ H $ 为小球所能达到的最高位置的距离。

不考虑 $ c, \rho, S $ 对本题目的影响，且小球直径 $ d \ll H $。

设水平向下为小球运动的正方向，根据牛顿第二定律 $ F = ma $，则有 $ ma = mg + \frac {1}{2} c \rho S v^2 $，

令 $ \lambda = \frac {1}{2} c \rho S $，即 $ ma = mg + \lambda v^2 $，

\begin{align} \because a &= \dot{v} = \frac{dv}{dt} \\ \therefore m \frac{dv}{dt} &= mg + \lambda v^2 \\ \implies \frac{dv}{dt} &= g + \frac{\lambda}{m} v^2 \\ \end{align}

令 $ \frac {\lambda}{m} = \mu $，

\begin{align} \therefore \frac{dv}{dt} &= g + \mu v^2 \\ \implies \frac{dv}{g + \mu v^2} &= dt \\ \implies \int \frac{dv}{g + \mu v^2} &= \int dt + C \\ \implies \frac{1}{g} \int \frac{dv}{1 + \frac{\mu}{g}v^2} &= t + C \\ \implies \frac{1}{g} \int \frac{\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{\mu}}d(\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{g}}v)}{1 + (\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{g}}v)^2} &= t + C \\ \implies \frac{1}{g}\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{\mu}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= t + C \\ \implies \sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= t + C (*) \\ \end{align}

当 $ t = 0 $ 时，$ v = -v_0 $，有：

\begin{align} C &= -\sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v_0) (**) \end{align}

当 $ v = 0 $ 时，有：

\begin{align} t &= \sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v_0) \end{align}

若欲将 $ (*) $ 转换为 $ v $ 与 $ t $ 之间的显式表达式，则需：

\begin{align} 将 (*) 变换，得：\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= \sqrt{\mu g} (t + C) \\ \implies \sqrt{\frac{\mu}{g}}v &= \tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \\ \implies v &= \sqrt{\frac{g}{\mu}}\tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \end{align}

又 $ \because v = \dot {x} = \frac {dx}{dt} $，有：

\begin{align} \frac{dx}{dt} &= \sqrt{\frac{g}{\mu}}\tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \\ \implies \int \frac{dx}{dt}dt &= \sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \tan[\sqrt{\mu g} (t + C)]dt + C' \\ \implies x &= \sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \frac{\sin[\sqrt{\mu g} (t + C)]}{\cos[\sqrt{\mu g} (t + C)]}dt + C' \\ \implies x &= -\sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \frac{dcos[\sqrt{\mu g} (t + C)]}{\sqrt{\mu g} (t + C)} + C' \\ \implies x &= -\frac{1}{\mu} \ln{|\cos[\sqrt{\mu g}(t + C)]|} + C' \end{align}

由 $ H = x_{|t = \sqrt {\frac {1}{\mu g}}\arctan (\sqrt {\frac {\mu}{g}} v_0)} - x_{|t = 0}$，

注意到，其中 $ t + C = 0 $，则，

\begin{align} H = 0 - C' - [-\frac{1}{\mu} \ln{|\cos(C\sqrt{\mu g})|} + C'] \\ \implies H = \frac{1}{\mu} \ln{|\cos(C\sqrt{\mu g})|} + C' (***) \end{align}

将 $ (), \lambda = \mu m = \frac {1}{2} c \rho S v^2 $，代入 $ (*) $ 并整理，得：

\begin{align} H &= \frac{2m}{c \rho S}\ln{|\cos[\arctan(\frac{c \rho S v_0}{2mg})]|} \end{align}

上式即为所求。